Chapter 15 Moving Average Filters

De vez en cuando, uso una media móvil en los datos de filtro de paso bajo. Un filtro de media móvil es muy simple y fácil de implementar en tiempo real. Si se decide por medio cinco puntos de datos juntos (M 5), entonces los datos filtrados se calcula por yi (xi-2 xi-1 xi xi1 xi2) / 5. Incluso puede implementar esto recursivamente para que cada cálculo posterior sólo requiere dos Operaciones aritméticas independientemente del tamaño de M. Por ejemplo (asumiendo M 5), si su primer cálculo es y3 (x1 x2 x3 x4 x5) / 5, entonces el siguiente cálculo es simplemente y4 y3 8211 x1 x6. Lo que no sabía hasta hace poco era cómo calcular la respuesta en frecuencia de los filtros de media móvil. La respuesta en frecuencia, Hf, se puede calcular por sin (pifM) / (M sin (pif)), donde M es la longitud de la media móvil yf oscila entre 0 y 0,5 (con 0,5 representando la mitad de la frecuencia de muestreo). A continuación se muestra un gráfico de las respuestas de frecuencia para longitudes de 4, 8 y 16 (con una frecuencia de muestreo de 500 Hz). Observe que los filtros tienen bandas de transición agradables y suaves (el inicio de las curvas de una amplitud de 1 a 0) y bandas de parada horrible (las ondulaciones repetidas). Esto hace que un promedio móvil sea un filtro de suavizado excepcionalmente bueno (la acción en el dominio del tiempo), pero un filtro de paso bajo excepcionalmente malo (la acción en el dominio de frecuencia) 8221 (The Scientist and Engineer 8217s Guide to Digital Signal Processing, Capítulo 15) . A continuación se presentan ejemplos de cómo los filtros de media móvil eliminan el ruido aleatorio de un pulso rectangular. Usted puede ver el pulso rectangular es mantenido relativamente empinado por la banda de transición gradual al eliminar el ruido. Si desea eliminar el ruido de 60 Hz, entonces una longitud de 8 funcionará bien (la línea verde en el primer gráfico). Puede mejorar la banda de parada, en la cara de una banda de transición más pronunciada, aplicando el filtro varias veces. A continuación se muestra una gráfica de la respuesta en frecuencia de un promedio móvil de longitud 8 después de ser filtrada una, dos o cuatro veces. Éstos se calcularon multiplicando la función de respuesta en frecuencia por sí misma para cada paso (Hf Hf de paso dual). Si desea eliminar el ruido de 60 Hz con un filtro de doble paso, puede utilizar una longitud de 7 en lugar de 8 con un filtro de paso simple. La guía de científicos y ingenieros para el procesamiento de señales digitales Por Steven W. Smith, Ph. RE. Una tremenda ventaja del filtro de media móvil es que se puede implementar con un algoritmo que es muy rápido. Para entender este algoritmo, imagine pasar una señal de entrada, x, a través de un filtro de media móvil de siete puntos para formar una señal de salida, y. Ahora veamos cómo se calculan dos puntos de salida adyacentes, y 50 e y 51: Estos son casi los mismos puntos de cálculo x 48 a x 53 para y 50, y de nuevo para y 51. Si y 50 ya ha sido calculado , La forma más eficiente de calcular y 51 es: Una vez que se ha encontrado y 51 utilizando y 50, entonces y 52 se puede calcular a partir de la muestra y 51, y así sucesivamente. Después de que el primer punto se calcula en y, todos los otros puntos se pueden encontrar con sólo una sola suma y resta por punto. Esto se puede expresar en la ecuación: Observe que esta ecuación utiliza dos fuentes de datos para calcular cada punto en la salida: puntos de la entrada y puntos previamente calculados de la salida. Esto se llama una ecuación recursiva, lo que significa que el resultado de un cálculo se utiliza en los cálculos futuros. (El término recursivo también tiene otros significados, especialmente en informática). En el capítulo 19 se analizan más detalladamente diversos filtros recursivos. Tenga en cuenta que el filtro recursivo de media móvil es muy diferente de los filtros recursivos típicos. En particular, la mayoría de los filtros recursivos tienen una respuesta de impulso infinitamente larga (IIR), compuesta de sinusoides y exponenciales. La respuesta de impulso de la media móvil es un pulso rectangular (respuesta de impulso finito, o FIR). Este algoritmo es más rápido que otros filtros digitales por varias razones. En primer lugar, sólo hay dos cálculos por punto, independientemente de la longitud del núcleo del filtro. En segundo lugar, la suma y la resta son las únicas operaciones matemáticas necesarias, mientras que la mayoría de los filtros digitales requieren una multiplicación que consume tiempo. En tercer lugar, el esquema de indexación es muy simple. Cada índice de la ecuación 15-3 se encuentra añadiendo o restando constantes enteras que se pueden calcular antes de que comience el filtrado (es decir, p y q). Por último, todo el algoritmo puede realizarse con representación entera. Dependiendo del hardware utilizado, los enteros pueden ser más de un orden de magnitud más rápido que el punto flotante. Sorprendentemente, la representación entera funciona mejor que el punto flotante con este algoritmo, además de ser más rápido. El error de redondeo de aritmética de punto flotante puede producir resultados inesperados si no tiene cuidado. Por ejemplo, imagine una señal de muestra de 10.000 que se filtra con este método. La última muestra en la señal filtrada contiene el error acumulado de 10.000 adiciones y 10.000 sustracciones. Esto aparece en la señal de salida como un desplazamiento a la deriva. Los enteros no tienen este problema porque no hay error de redondeo en la aritmética. Si debe utilizar el punto flotante con este algoritmo, el programa de la Tabla 15-2 muestra cómo usar un acumulador de doble precisión para eliminar esta deriva. CH15 - CAPÍTULO 15 Moving Average Filters El promedio móvil. 277 CAPÍTULO 15 Ecuación 15-1 Ecuación del filtro de media móvil. En esta ecuación, es la señal de entrada, es xy la señal de salida, y M es el número de puntos utilizados en la media móvil. Esta ecuación sólo utiliza puntos de un lado de la muestra de salida que se calcula. Yi rsquo 1 M j M 1 j rsquo 0 xijy 80 rsquo x 80 x 81 x 82 x 83 x 84 5 Filtros de media móvil La media móvil es el filtro más común en DSP, principalmente porque es el filtro digital más fácil de entender y usar . A pesar de su simplicidad, el filtro de media móvil es óptimo para una tarea común: reducir el ruido aleatorio mientras se mantiene una respuesta de paso agudo. Esto lo convierte en el primer filtro para señales codificadas en el dominio del tiempo. Sin embargo, el promedio móvil es el peor filtro para las señales codificadas en el dominio de la frecuencia, con poca capacidad de separar una banda de frecuencias de otra. Los parientes del filtro de media móvil incluyen el promedio móvil Gaussiano, Blackman y múltiple. Estos tienen un rendimiento ligeramente mejor en el dominio de la frecuencia, a expensas del aumento del tiempo de cálculo. Implementación por convolución Como su nombre indica, el filtro de media móvil opera promediando un número de puntos de la señal de entrada para producir cada punto en la señal de salida. En la forma de la ecuación, esto se escribe: Donde está la señal de entrada, es la señal de salida, y M es el número x y de puntos en la media. Por ejemplo, en un filtro de media móvil de 5 puntos, el punto 80 en la señal de salida viene dado por: Esta vista previa tiene secciones borrosas intencionalmente. Regístrese para ver la versión completa. El Científico y los Ingenieros Guía para el Procesamiento de Señales Digitales 278 y 80 rsquo x 78 x 79 x 80 x 81 x 82 5 100 MOVIMIENTO FILTRO MEDIO 110 Este programa filtra 5000 muestras con un 101 punto moviendo 120 filtro promedio, resultando en 4900 muestras de datos filtrados . 130 140 DIM X4999 X contiene la señal de entrada 150 DIM Y4999 Y mantiene la señal de salida 160 170 GOSUB XXXX Subrutina mítica para cargar X 180 190 FOR I 50 TO 4949 Loop para cada punto en la señal de salida 200 YI 0 Cero, por lo que puede ser Utilizado como acumulador 210 PARA J -50 A 50 Calcular la suma 220 YI YI X (IJ 230 NEXT J 240 YI YI / 101 Completar el promedio dividiendo 250 NEXT I 260 270 END TABLA 15-1 Como alternativa, el grupo de Puntos de la señal de entrada pueden ser elegidos simétricamente alrededor del punto de salida: Esto corresponde al cambio de la suma en la ecuación 15-1 de. j rsquo 0 a M1 a 2. Por ejemplo, en una media móvil de 10 puntos j (M1) / 2 a (M 1) / 2, el índice, j puede ir de 0 a 11 (promedio de un lado) o -5 a 5 (promedio simétrico). El promedio simétrico requiere que M sea un número impar. Más fácil con los puntos de un solo lado, sin embargo, esto produce un cambio relativo entre las señales de entrada y salida. Usted debe reconocer que el filtro de media móvil es una convolución utilizando un núcleo de filtro muy simple. Por ejemplo, un filtro de 5 puntos tiene el núcleo del filtro. Es decir, el filtro de media móvil es una convolución de 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0, 0 de la señal de entrada con un impulso rectangular que tiene un área de uno . La Tabla 15-1 muestra un programa para implementar el filtro de media móvil. Este es el final de la vista previa. Regístrese para acceder al resto del documento.